- Множество
-
Множество [set] — одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое целое». (Так определял множество основатель теории множеств, известный немецкий математик Георг Кантор. Правда, уже в начале XX в. стало ясно, что определение Кантора нельзя считать достаточно строгим, так как оно приводит к различным логическим противоречиям. Широко распространено убеждение, что «М.» — понятие, поясняемое только на примерах. Такая странная для математики ситуация объясняется отчасти тем, что все попытки определить термин «М.» приводят, по существу, к замене его другими, столь же неопределенными понятиями).
Примеры множеств: М. действительных чисел, М. лошадей в табуне, М. планов, М. функций, М. переменных задачи.
Все М., кроме пустого М., состоят из элементов. Например, каждое действительное число есть один из элементов М. действительных чисел. То, что элемент a принадлежит множеству A, обозначают с помощью специального знака a ∈A. Это читается так: «a принадлежит множеству А в качестве элемента».
М. можно задать прямым перечислением элементов. Пусть А состоит из элементов a1, a2, a3. Это записывается так: A = {a1, a2, a3}. Если непосредственное перечисление элементов М. невозможно (например, когда М. A состоит из бесконечного числа элементов), его определяют характеристическим высказыванием, т.е. высказыванием, истинным только для элементов данного М. В таком случае употребляется запись типа:
A = {x|P(x) = И}, которая читается так: «М. A — есть М., состоящее из элементов x таких, что P(x) — истинно». Множество М всех планов x, удовлетворяющих условию, что они лучше (больше), чем план x0, может быть задано с помощью высказывания: М {x|(x>x0) = И} или сокращенно: M = {x|(x>x0)}.Коротко остановимся на определениях и свойствах действий над множествами.
Прежде всего, можно рассмотреть два М. — A и B, обладающих следующим свойством: все элементы М. A принадлежат и М. B. Множество A есть, таким образом, подмножество B. Это обозначается так: A ⊂ B. Предположим теперь, что даны произвольные М. A и B. Тогда из элементов этих М. можно сконструировать несколько других:
Во-первых, М. элементов, принадлежащих либо A, либо B; такая операция над М. обозначается через A ∪ B и называется объединением; ясно, например, что если A ⊂ B, то A ∪ B = B; кроме того, A∪ B = B ∪ A это свойство называется коммутативностью; (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) — это свойство — ассоциативность (возможность произвольного разбиения на группы);
Во-вторых, можно рассмотреть также М. элементов, принадлежащих и A, и B одновременно; такая операция называется пересечением и обозначается через ∩. Предположим, что A ⊂ B , тогда A ∩ B = A. Для того, чтобы пересечение двух М. имело смысл, даже если у них нет общих элементов, вводится понятие пустого М., т.е. М. без элементов. Его обозначают Ø . Легко увидеть, что A ∪ Ø = A; A ∩ Ø = Ø ;
Так же, как и объединение, операция ∩ — ассоциативна и коммутативна.
Объединение множеств называют иногда их суммой, а пересечение их — произведением.
В третьих, можно выделить также подмножество элементов множества A, не принадлежащих B. Это действие называется дополнением B до A или разностью AB . Так же как и в случае обычной разности, это действие некоммутативно.
В евклидовом n-мерном пространстве М., содержащее все свои граничные точки, — замкнутое; М., для которого существует (n-мерный) шар, целиком его содержащий, — ограниченное; ограниченное и замкнутое М. называется компактным; о выпуклом М. см. Выпуклость, вогнутость.
В разных контекстах вместо слова множество часто употребляют: область (напр. Область допустимых решений) или пространство (напр. Простртанство производственных возможностей).
См. также Венна диаграммы, Декартово произведение множеств, Нечеткое, размытое множество.
Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. — М.: Дело. Л. И. Лопатников. 2003.
Смотреть что такое "Множество" в других словарях:
МНОЖЕСТВО — см. Класс в логике. Философский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983. МНОЖЕСТВО … Философская энциклопедия
множество — См. избыток, много, обилие многое множество... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. множество избыток, много, обилие, масса, уймища, бездна, пропасть, тьма( тьмущая, тем), куча … Словарь синонимов
множество — набор комплект — [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=4318] множество Одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое… … Справочник технического переводчика
МНОЖЕСТВО — МНОЖЕСТВО, множества, ср. (книжн.). 1. только ед. Неопределенно большое количество, число чего нибудь. Множество рабочих. Множество фактов. «Я слышал в жизни множество отличнейших певцов.» Некрасов. 2. Совокупность элементов, выделенных в… … Толковый словарь Ушакова
МНОЖЕСТВО — МНОЖЕСТВО, множить и пр. см. многий. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля
МНОЖЕСТВО — набор, совокупность, собрание к. л. объектов, называемых его элементами, обладающих общим для всех них характеристич. свойством. Понятие M. принадлежит к числу первоначальных матем. понятий и может быть пояснено только при помощи примеров. Так,… … Физическая энциклопедия
множество — МНОЖЕСТВО, изобилие, лавина, море, обилие, поток, разг. бездна, разг. вагон, разг. воз, разг. куча, разг. масса, разг. пропасть, разг. тьма, разг. уйма, разг. уймища, разг. сниж. гибель, разг. сниж. прорва, разг. сниж. сила, разг. сниж. тьма… … Словарь-тезаурус синонимов русской речи
Множество — совокупность элементов, параметров, объединенных по какому либо признаку Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов
МНОЖЕСТВО — в математике, см. Множеств теория … Большой Энциклопедический словарь
МНОЖЕСТВО — МНОЖЕСТВО, а, ср. 1. Очень большое количество, число кого чего н. М. людей. М. случаев. Всяких запасов во множестве. 2. В математике: совокупность элементов, объединённых по какому н. признаку. Теория множеств. Толковый словарь Ожегова. С.И.… … Толковый словарь Ожегова
Книги
- Разноплеменное множество. Яаков Франк и франкистское движение в 1755-1816 годах, Мачейко Павел. Павел Мачейко родился в Польше, получил образование в Оксфорде, избрав главной темой своих исследований проблемы еврейского разномыслия и мессианских движений Нового времени. С 2008 года по… Подробнее Купить за 1118 руб
- Множество жизней Тома Уэйтса, Хамфриз Патрик. Когда Уэйтс в 1973 году начал свою карьеру рок-музыканта, его, как и многих его современников, провозгласили "новым Диланом" . Томас Алан Уэйтс доказал право быть самим собой. Создав уже… Подробнее Купить за 474 руб
- Множество жизней Тома Уэйтса, Хамфриз Патрик. Когда Уэйтс в 1973 году начал свою карьеру рок-музыканта, его, как и многих его современников, провозгласили «новым Диланом». Томас Алан Уэйтс доказал право быть самимсобой. Создав уже более… Подробнее Купить за 426 руб