Множество

Множество [set] — одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое целое». (Так определял множество основатель теории множеств, известный немецкий математик Георг Кантор. Правда, уже в начале XX в. стало ясно, что определение Кантора нельзя считать достаточно строгим, так как оно приводит к различным логическим противоречиям. Широко распространено убеждение, что «М.» — понятие, поясняемое только на примерах. Такая странная для математики ситуация объясняется отчасти тем, что все попытки определить термин «М.» приводят, по существу, к замене его другими, столь же неопределенными понятиями).

Примеры множеств: М. действительных чисел, М. лошадей в табуне, М. планов, М. функций, М. переменных задачи.

Все М., кроме пустого М., состоят из элементов. Например, каждое действительное число есть один из элементов М. действительных чисел. То, что элемент a принадлежит множеству A, обозначают с помощью специального знака a ∈A. Это читается так: «a  принадлежит множеству А в качестве элемента».

М. можно задать прямым перечислением элементов. Пусть А состоит из элементов a₁, a₂, a₃. Это записывается так: A = {a₁, a₂, a₃}. Если непосредственное перечисление элементов М. невозможно (например, когда М. A состоит из бесконечного числа элементов), его определяют характеристическим высказыванием, т.е. высказыванием, истинным только для элементов данного М. В таком случае употребляется запись типа:
A = {x|P(x) = И}, которая читается так: «М. A — есть М., состоящее из элементов x таких, что P(x)  — истинно». Множество М всех планов x, удовлетворяющих условию, что они лучше (больше), чем план x₀, может быть задано с помощью высказывания: М {x|(x>x₀) = И} или сокращенно: M = {x|(x>x₀)}.

Коротко остановимся на определениях и свойствах действий над множествами.

Прежде всего, можно рассмотреть два М. — A и B, обладающих следующим свойством: все элементы М. A принадлежат и М. B. Множество A есть, таким образом, подмножество B. Это обозначается так: A ⊂ B. Предположим теперь, что даны произвольные М. A и B. Тогда из элементов этих М. можно сконструировать несколько других:

Во-первых, М. элементов, принадлежащих либо A, либо B; такая операция над М. обозначается через A ∪ B и называется объединением; ясно, например, что если A ⊂ B, то A ∪ B = B; кроме того, A∪ B = B ∪ A это свойство называется коммутативностью; (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) — это свойство — ассоциативность (возможность произвольного разбиения на группы);

Во-вторых, можно рассмотреть также М. элементов, принадлежащих и A, и B одновременно; такая операция называется пересечением и обозначается через ∩. Предположим, что A ⊂  B , тогда A ∩ B = A. Для того, чтобы пересечение двух М. имело смысл, даже если у них нет общих элементов, вводится понятие пустого М., т.е. М. без элементов. Его обозначают  Ø .  Легко увидеть, что A ∪   Ø = A; A  ∩  Ø  = Ø  ;

Так же, как и объединение, операция ∩ — ассоциативна и коммутативна.

Объединение множеств называют иногда их суммой, а пересечение их — произведением.

В третьих, можно выделить также подмножество элементов множества A, не принадлежащих B. Это действие называется дополнением B до A или разностью AB . Так же как и в случае обычной разности, это действие некоммутативно.

В евклидовом n-мерном пространстве М., содержащее все свои граничные точки, — замкнутое; М., для которого существует (n-мерный) шар, целиком его содержащий, — ограниченное; ограниченное и замкнутое М. называется компактным; о выпуклом М. см. Выпуклость, вогнутость.

В разных контекстах вместо слова множество часто употребляют: область (напр. Область допустимых решений) или пространство (напр. Простртанство производственных возможностей).

См. также Венна диаграммы, Декартово произведение множеств, Нечеткое,  размытое множество.